Papke war als Theaterschauspieler und Bühnendarsteller von 1958 bis 1988 am Hans Otto Theater in Potsdam tätig. Zu seinen Bühnenrollen dort gehörten unter anderem der Junker Tobias Rülp in Was ihr wollt (Spielzeit 1963/1964), der Polizist Schauwa in Der kaukasische Kreidekreis (1968) und der Hausbesitzer und Familienfreund Periplectomenus in der antiken Komödie Miles Gloriosus. Häufig wurde er dort in komödiantischen Rollen eingesetzt.
Er wirkte ab Ende der 1950er Jahre bis zum Anfang der 1990er-Jahre in zahlreichen Film- und Fernsehproduktionen mit. Seine charakteristischen Haupt- und Nebenrollen prägten diverse Filme der DEFA und des DFF. Papke, ein eher kleiner rundlicher Darsteller, wurde dabei häufig in Märchenfilmen und Kinderfilmen eingesetzt, so als zweiter Musikant in Die goldene Gans[2] (1964), später als Wache in Die zertanzten Schuhe (1977) und als Räuber in Wer reißt denn gleich vor’m Teufel aus (1978).
Sein erster Filmauftritt war die auf einem Dorf spielende Komödie Senta auf Abwegen aus dem Jahr 1959, eine DEFA-Produktion, in der Papke, unter der Regie von Martin Hellberg in einer kleinen Rolle als Pohlenz zu sehen war. 1962 spielte er die Rolle des Schaffners in dem Stacheltier-Film Der Fluch der bösen Tat.
In der Folgezeit wurde Papke in vielen Filmen schwerpunktmäßig als Nebendarsteller eingesetzt, wo er in kurzen Szenen jeweils markante Charakterporträts zeichnete. Zu seinen Rollen in diesem Darstellergenre gehörten: Dicker SA-Mann in dem Kinderfilm Die Jagd nach dem Stiefel (1962), der Korporal in dem Mantel-und-Degen-Film Mir nach, Canaillen! (1964), der Reichsbahnangestellte in dem Musikfilm Hochzeitsnacht im Regen (1967), Roderich in der historischen Film- und Musikkomödie Frau Venus und ihr Teufel (1967), der Taxifahrer in dem Kinderfilm Der Weihnachtsmann heißt Willi (1969), der Kantinenwirt in dem Liebesfilm Hart am Wind (1970), der kleine Wächter in dem Liebesfilm Das Versteck (1977) und der Eisenbahner Paul in der TV-Filmkomödie Des kleinen Lokführers große Fahrt (1978).
Im DDR-Fernsehen war er in kleinen Episodenrollen auch in den Krimiserien Polizeiruf 110 und Der Staatsanwalt hat das Wort zu sehen, so als BGL-Vorsitzender in der Staatsanwalt-Folge Wenn zwei sich streiten (1984), als Leichenträger in der Staatsanwalt-Folge Paule (1986) und als Arzt im Krankenhaus in der Polizeiruf-Folge Der zersprungene Spiegel (1985).
Gelegentlich arbeitete Papke für das Fernsehen der DDR und für die DEFA auch als Synchronsprecher, so bei 1977 bei der DEFA-Synchronisation des Films Der (voraussichtlich) letzte Streich der Olsenbande, 1979 bei der DEFA-Synchronisation des Films Die Olsenbande sieht rot und 1983 bei der Synchronisation des russischen Märchenfilms Abenteuer mit der Tarnkappe. Horst Papke ist der Vater des früheren deutschen Kanurennsportlers Ulrich Papke.